Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

1) функція

Розв'язання:Перше, що потрібно зробити при дослідженні функції це встановити область визначення. 
Для заданого полінома функція визначена на всій дійсній осі D(f)=R.
Другим етапом є перевірка функції на парність, непарність, періодичність. 
Оскільки рівність порушується
умова парності 
то задана функція ні парна, ні непарна. 
Встановлюємо точки перетину з віссю абсцис. Для цього функцію прирівнюємо до нуля
точки перетину з осями
точки перетину з осями 
точки перетину з осями
Отримали 2 нулі функції 
f(0)=0; f(3)=0
При рівнянням похідної до нуля знаходимо критичні точки
похідна функції
умова на екстремум
х=0; х=2. 
Функція зростає, якщо проміжок зростання 
Спадає на двох ділянкахінтервали спадання 
Обчислюємо значення в точках локального екстремуму
f(0)=0; f(2)=12-8=4; 
екстремуми функції 
Графік функції матиме наступний вигляд 
графік функції

 

2) функція

Розв'язання: Областю визначення полінома буде вся дійсна вісь D(f)=R; Перевірка на парність 

умова парності - функція парна. 
Знаходимо нулі функції, для цього біквадратне рівняння
нулі функції 
нулі функції 
заміною змінних  зводимо до квадратного
квадратне рівняння 
корені якого обчислюємо через дискримінант
дискримінант
корінь рівняння 
корінь рівняння
Повертаємося до заміни і розв'язуємо
заміна 
Наступним кроком визначаємо точки екстремуму. Для обчислюємо похідну функції
похідна функції
та прирівнюємо її до нуля
 
х=0;
 
Встановлюємо знаки похідної на проміжках підстановкою, наприклад в одиниці похідна від'ємна 

А це значить, що функція на проміжку спадає. На сусідніх ділянках знаки чергуються. Функція спадає, якщо 
інтервали спадання 
Зростає, якщо
інтервали зростання 
Знаходимо значення функції в точках екстремуму f(0)=-4;
значення функції 
Перша буде локальним максимумом, дві наступні – мінімумом
екстремуми
Графік функції зображено на рисунку
графік функції

 

3) функція

Розв'язання: Задана функція визначена всюди D(f)=R .
З вигляду бачимо, що функція ні парна, ні непарна. Вона перетворюється в нуль при x=1; x=-2. 
Визначаємо екстремуми функції. Похідну добутку прирівнюємо до нуля
похідна функції
похідна функції"
та визначаємо критичні точки 
x=1; x=-2; 
2x=-1; х=-1/2.
 
Знак похідної визначаємо підстановкою, наприклад в нулі вона від'ємна. Значить функція спадає, якщо змінна належить інтервалу
 
та зростає на решті множини
 
Обчислюємо значення функції в точках екстремуму f(1)=0; f(-2)=0; 
значення функції 
та в нулі f(0)=2*2=4.
Враховуючи знаки похідно, маємо мінімум в двох точках
мінімум 
та один максимум
максимум 
Графік функції із проміжками зростання та спадання зображено нижче
графік функції

 

4) функція

Розв'язання: Дробова функція визначена в усіх точках, окрім нуля знаменника
 
Перевірка на парність показує, що функція ні парна ні непарна
умова парності 
З умови  встановлюємо, що x=-3- нуль функції;
Похідна функції 
похідна функції 
приймає від'ємне значення на всій області визначення, а це означає, що вона всюди спадна Запишемо функцію у вигляді
горизонтальна асимптота
При спрямуванні змінної до безмежності отримаємо вертикальну асимптоту х=1
Графік функції має вигляд
графік функції

 

5) функція

Розв'язання: Облаю визначення буде множина дійсних чисел без двох точок  , які є нулями знаменника.Знайдені точки також будуть вертикальними асимптотами.
Нулів функція не має, це очевидно. Також легко переконатися, що функція парна 
умова парності 
Прирівнявши похідну до нуля
похідна функції 
умова
визначаємо екстремум функції х=0; f(0)=1. Справа похідна додатна, а зліва від'ємна. Далі знаки чергуються. Функція спадає на інтервалах
інтервали спадання 
Зростає при наступних значеннях інтервалу
інтервали зростання 
Маємо оду точу максимуму
максимум 
На безмежності функція має горизонтальну асимптоту y=0.
горизонтальна асимптота 
Графік функції зображено нижче 
графік функції

6) функція

Розв'язання: Нулі знаменника розбивають область визначення на 3 інтервали 


Точка x=0 - нуль функції. Перевірка на парність
умова парності
f(-x)=-f(x)- функція непарна. Визначаємо екстремуми через похідну 
похідна функції
похідна функції
Похідна

відмінна від нуля, отже робимо висновок, що функція немає екстремальних точок. 
Чисельник завжди більший нуля  Отже, функція на всій області визначення спадає. Нулі знаменника х=2 і х=-2 - вертикальні асимптоти.
Графік функції зображено на рисунку
графік функції

close