Загальне рівняння площини

Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду

A x
 + 
B y
 + 
C z
 + 
D
 = 0

де A, B і C не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площина, то запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) і (z1, z2, z3) — координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином:

│ x-x1 y-y1 z-z1 │

│ x2-x1 y2-y1 z2-z1 │ = 0

│ x3-x1 y3-y1 z3-z1 │

Приклад: Cкласти рівняння площини, що проходить через три точки з координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6, 0; 12).

Рішення: підставляючи координати точок у вищенаведену формулу, одержимо:

│ x +1 y-4 z +1 │

│ -12 -2 -9 │ = 0

│ 7 -4 13 │

В принципі, це і є рівняння шуканої площини. Однак якщо розкласти визначник по першому рядку, то вийде більш просте вираз:

-62 * (Х +1) + 93 * (у-4) + 62 * (z +1) = 0.

Розділивши обидві частини рівняння на 31 і привівши подібні, отримаємо:

-2х +3 у +2 z-12 = 0.

Відповідь: рівняння площини, що проходить через точки з координатами

(-1; 4; -1), (-13; 2; -10) і (6, 0, 12)

-2х +3у +2z-12 = 0.

Рівняння площини в відрізках

Якщо площина перетинає осі OX, OY і OZ в точках з координатами (

a
, 0, 0), (0, 
b
, 0) і (0, 0, 
с
), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння площини в відрізках

 

x
 + 
y
 + 
z
 = 1
a
b
c

 

close